Sujet : Analyse, Dérivation, Inégalités de convexité

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 +Inégalités de convexité b) Soient a ,a ,b ,b ∈R , déduire de ce qui précède :1 2 1 2 p q a b 1 a 1 b1 1 1 1Exercice 1 [ 01398 ] [correction] p p 6 +p p q qp p q qp q pa +a qb +ba +a b +b 1 2 1 2Observer les inégalités suivantes par un argument de convexité. 1 2 1 2 2 n+1a)∀x∈ [0,π/2], x6 sinx6x b)∀n∈N,∀x> 0, x −(n+1)x+n> 0π c) Conclure que q q p p p q q q a b +a b 6 a +a b +b1 1 2 2 1 2 1 2 Exercice 2 [ 01399 ] [correction] d) Plus généralement, établir que pour tout n∈N et tout a ,...,a ,b ,...,b on1 n 1 nMontrer que f : ]1,+∞[→R définie par f(x) = ln(lnx) est concave. a : v vEn déduire u un n npx+y X X Xu u2 p qp q∀(x,y)∈ ]1,+∞[ , ln > lnx.lny t ta b 6 a bi i i i2 i=1 i=1 i=1 Exercice 3 [ 01400 ] [correction] Montrer Exercice 7 [ 01403 ] [correction] n x +···+x1 n xa) Montrer que x7→ ln(1+ e ) est convexe surR∀x ,...,x > 0, 61 n 1 1 n+···+x x1 n b) Etablir ! !1/n 1/nn nY Y ? +?Exercice 4 [ 01401 ] [correction] ∀n∈N ,∀x ,x ,...,x ∈R ,1+ x 6 1+x1 2 n k k 1 1Soient p,q> 0 tels que + = 1. k=1 k=1p q Montrer que pour tout a,b> 0 on a ? +?c) En déduire, pour tout n∈N ,a ,a ,...,a ,b ,b ,...,b ∈R , l’inégalité :1 2 n 1 2 n p qa b ! ! !+ >ab 1/n 1/n 1/nn n nY Y Yp q a + b 6 (a +b )k k k k k=1 k=1 k=1 Exercice 5 [ 03172 ] [correction] +Soient a,b∈R et t∈ ]0,1[. Montrer Exercice 8 X MP [ 02945 ] [correction] t 1−ta b 6ta+(1−t)b Soient x ,...,x ,y ,...,y des réels positifs.1 n 1 n Montrer 1/n 1/n 1/n (x ...x ) +(y ..