Sujet : Analyse, Dérivation, Dérivabilité

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Dérivabilité Exercice 7 [ 01356 ] [correction] Pour λ∈R, on considère les fonctions Exercice 1 [ 01354 ] [correction] x+λ f :x7→λEtudier la dérivabilité des fonctions suivantes 2x +1 p 2 22 3 a) Montrer que les tangentes en 0 aux fonctions f sont parallèles.a) x7→ x −x b) x7→ (x −1)arccos(x ) λ b) Observer que lestes en 1 sont concourantes. Exercice 2 [ 00736 ] [correction] Exercice 8 [ 01357 ] [correction]Sur quelles parties deR, les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables? Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I qui n’en soit pas x une extrémité. Si le rapporta) x7→x|x| b) x7→ |x|+1 1 (f(a+h)−f(a−h)) 2h Exercice 3 [ 00247 ] [correction] admet une limite finie quand h tend vers 0, celle-ci est appelée dérivée symétrique Sur quelles parties deR, les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables? de f en a. a) Montrer que, sif est dérivable à droite et à gauche en a, elle admet une dérivée 2xsin(1/x) si x = 0 x sin(1/x) si x = 0 symétrique en a.a) f :x7→ b) g :x7→ . 0 sinon 0 sinon b) Que dire de la réciproque? Exercice 4 [ 01355 ] [correction] Exercice 9 [ 01358 ] [correction] Après avoir déterminé le domaine d’existence, calculer les dérivées des fonctions Soit f :R→R une fonction dérivable en a∈R.