Sujet : Analyse, Dérivation, Convexité

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Convexité Exercice 8 Centrale MP [ 02487 ] [correction] Soit 1 1 √f :t∈]−∞,1/4[\{0}7→ −Exercice 1 [ 01391 ] [correction] tt 1−4t Soient f et g :R→R deux applications telles que f soit convexe et g soit à la fois ∞a) Montrer que f se prolonge en une fonction deC sur ]−∞,1/4[.convexe et croissante. Montrer que g◦f est convexe. b) Tracer le graphe de f à l’aide d’un logiciel de calcul formel. c) Etudier la concavité du graphe. Exercice 2 [ 01392 ] [correction] Soit f :I→R une application continue strictement décroissante et convexe. Exercice 9 X MP [ 03049 ] [correction] −1Etudier la convexité de la fonction f :f(I)→I. 0Soient I un intervalle ouvert deR et f∈C (I,R). 2a) On suppose que, pour tout (x,y)∈I , x+y f(x)+f(y) Exercice 3 [ 01393 ] [correction] f 6 2 2 Soit f :R→R une fonction convexe strictement croissante. Montrer que f tend vers +∞ en +∞. Montrer que f est convexe. b) On suppose qu’il existe un réel M tel que 2 2∀(x,y)∈R ,|f(x+y)+f(x−y)−2f(x)|6MyExercice 4 [ 01394 ] [correction] Soit f :R→R une fonction convexe et bornée. Montrer que f est dérivable. Montrer que f est constante. 2Indice : Considérer x7→f(x)±Mx /2. Exercice 5 [ 01395 ] [correction] Exercice 10 [ 03155 ] [correction] +Soit f :R→R une application convexe et majorée. Montrer que f est constante. Soit f :R →R dérivable, concave et vérifiant f(0)>0. Montrer que f est La conclusion subsiste-t-elle pour f :[0,+∞[→R? sous-additive i.e.