Sujet : Analyse, Dérivation, Applications de la dérivation

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Applications de la dérivation Exercice 1 [ 01383 ] [correction] Etablir les inégalités suivantes : xa)∀x∈ ]−1,+∞[, 6 ln(1+x)6x1+x 2x+ xb)∀x∈R ,e > 1+x+ . 2 Exercice 2 [ 01402 ] [correction] Soit p∈ ]0,1]. a) Etablir que pour tout t> 0, on a p p(1+t) 6 1+t b) En déduire que pour tout x,y> 0, p p p(x+y) 6x +y Exercice 3 [ 01366 ] [correction] 1Soit f : [0,+∞[→R de classeC telle que f(0) =−1 et limf = +∞ +∞ 0Montrer que si f s’annule au moins deux fois alors f aussi. Exercice 4 [ 01365 ] [correction] Déterminer toutes les applications f :R→R dérivables telles que 2 ∀(x,y)∈R ,f(x+y) =f(x)+f(y) Exercice 5 [ 01367 ] [correction] Soit f : [0,π/2]→R définie par √ f(x) = sinx+x −1Justifier que f réalise une bijection vers un intervalle à préciser, puis que f est continue et dérivable sur cet intervalle. Exercice 6 Centrale MP [ 00360 ] [correction] 1Déterminer les fonctions f∈C (R,R) vérifiant f◦f =f Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 2 p−1 p−1 0Corrections Puisque p−16 0, t > (1+t) et donc δ (t)> 0. On en déduit que pour tout t> 0, δ(t)> 0 puis l’inégalité demandée. b) Pour x = 0, l’inégalité est immédiate et pour x> 0,Exercice 1 : [énoncé] ∞ a) Soit f :x7→x−ln(1+x) définie et de classeC sur ]−1,+∞[.