Sujet : Analyse, Compléments de calcul intégral, Intégrale double sur un produit d'intervalles

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Intégrale double sur un produit d’intervalles Exercice 5 [ 00101 ] [correction] On pose ZZ 2 2−(x +y )Exercice 1 [ 02919 ] [correction] I = e dx dy 2]0,+∞[Calculer ZZ y a) Justifier l’existence de I et établirdx dy 2 2 2 2 (1 +x +y )[0,+∞[ Z Z +∞ +∞ 2 2−(1+u )x I = xe du dx x=0 u=0 Exercice 2 [ 00098 ] [correction] b) En déduire la valeur de ZEn calculant de deux façons +∞ZZ 2−te dtyx dx dy 0 2]0,1] déterminer la valeur de Z 1 Exercice 6 Centrale MP [ 00102 ] [correction]t− 1 dt Que dire de l’intégrale doublelnt0 ZZ x−y dx dy 3(x +y)D Exercice 3 [ 00099 ] [correction] où D = ]0, 1]× [0, 1]?En calculant de deux façons ZZ 1 dx dy 1 +y cosx[0,π]×[0,1[ Exercice 7 [ 00250 ] [correction] Calculer ZZ déterminer la valeur de dx dyZ π ln(1 + cost) 2 2 + + (1 +x )(1 +y )dt R ×R cost0 En déduire Z Zπ/2 +∞ln(tanθ) lnt dθ et dt 2cos 2θ t − 10 0 Exercice 4 [ 00100 ] [correction] En calculant de deux façons ZZ Exercice 8 [ 00270 ] [correction] 2 2−(x +y )e dx dy Soit A∈M (R) une matrice symétrique définie positive. Calculer2 2[0,+∞[ ZZ tI = exp(− XAX) dx dydéterminer la valeur de Z 2+∞ R 2−te dt ou X désigne le vecteur de coordonnées (x,y).0 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.