Sujet : Analyse, Compléments de calcul intégral, Intégrale double sur un compact

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Intégrale double sur un compact Calculer ZZ 2 2−x−ye dx dy C(R)Exercice 1 [ 00085 ] [correction] En déduire la valeur deCalculer ZZZ +∞ 2−te dtI = sin(x +y)dxdy 0D 2oùD = (x,y)∈R |x,y> 0 et x +y6π . Exercice 5 [ 00096 ] [correction] Calculer ZZ 3Exercice 2 [ 00086 ] [correction] (x − 2y)dx dy ΔCalculer ZZ avec 2 2 2I = yx dxdy x y2 Δ = (x,y)∈R /x> 0,y> 0, + 6 1D 2 2a b 2 2oùD = (x,y)∈R |x6 1,y> 0 et y 6x . On pourra utiliser le changement de variable x =au cosθ et y =bu sinθ. Exercice 6 [ 00097 ] [correction]Exercice 3 [ 00093 ] [correction] a) Justifier la convergence deSoit R> 0. On note Z Z+∞ +∞ 2 2 2 2 2 2A = [0,R]× [0,R] et B = (x,y)∈R /x,y> 0 et x +y 6RR R cos(u ) du et sin(u ) du 0 0 On pose +?b) Soit f : [0,π/2]→R une application continue. Pour t> 0 on pose ZZ ZZ 2 2 2 2 D ={(r cosθ,r sinθ)/θ∈ [0,π/2],r∈ [0,tf(θ)]}tf(R) = exp(−(x +y ))dxdy et g(R) = exp(−(x +y ))dxdy A BR R et on introduit √ ZZ ZZ a) Montrer que g(R)6f(R)6g(R 2). 2 2 2 2ϕ(t) = sin(x +y ) dx dy et ψ(t) = cos(x +y ) dx dy b) En déduire la valeur de D Dt tZ +∞ 2−t Déterminer les limites, quand T tend vers +∞ dee dt 0 Z ZT T1 1 ϕ et ψ T T0 0 Exercice 4 CCP MP [ 02546 ] [correction] 2 c) On choisit f pour que D = [0, 1] . On pose2 2 2 1Soit C(R) le quart de disque x> 0, y> 0, x +y 6R , R> 0. Z Zt tMontrer que 2 2 !2 C(t) = cos(u ) du et S(t) = sin(u ) duZ R 2 0 0−te dt 2 20 Montrer que ϕ(t) = 2C(t)S(t) et ψ(t) = C(t) −S(t) .