Sujet : Analyse, Compléments de calcul intégral, Formule de Green Riemann

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Formule de Green Riemann Exercice 6 [ 00112 ] [correction] Calculer l’aire de la portion bornée du plan délimitée par la cardioïde d’équation polaireExercice 1 [ 00269 ] [correction] r = 1 + cosθSoit Γ la courbe orientée dans le sens trigonométrique, constituée des deux portions de courbes, comprises entre les points d’intersection, de la droite 2d’équation y =x et de la parabole d’équation y =x . Exercice 7 [ 00069 ] [correction] a) Calculer I Calculer l’aire de la portion bornée du plan délimitée par la lemniscate d’équation polaireI = (y +xy) dx √ Γ r = cos 2θ b) En utilisant la formule de Green-Riemann, retrouver la valeur de cette intégrale. Exercice 8 [ 00062 ] [correction] Calculer l’aire de la boucle de la strophoïde droite d’équation polaire cos 2θExercice 2 [ 00111 ] [correction] r = Calculer l’aire de la portion bornée du plan délimitée par l’ellipse donnée par cosθ ( x(t) =a cost Exercice 9 [ 00108 ] [correction](avec a,b> 0) 2 2y(t) =b sint On considère f :R →R de classeC vérifiant : 2 2∂ f ∂ f + = 0 2 2∂x ∂yExercice 3 [ 00079 ] [correction] +Calculer l’aire de la portion bornée du plan délimitée par l’astroïde donnée par Soit ϕ :R →R définie par ( Z3 2πx(t) =a cos t ϕ(r) = f(r cosθ,r sinθ) dθ(avec a> 0) 3y(t) =a sin t 0 a) Montrer que la fonction ϕ est dérivable. 0 0b) Calculer ϕ et en déduire une expression ϕ.