Sujet : Analyse, Compléments de calcul intégral, Formes différentielles

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Formes différentielles Exercice 1 [ 00258 ] [correction] a) Montrer que la forme différentielle ω = (x +y) dx + (x−y) dy est exacte et déterminer une primitive de ω. b) Résoudre alors l’équation différentielle 0x +y + (x−y)y = 0 dont l’inconnue est la fonction y de la variable réelle x. Exercice 2 CCP MP [ 03368 ] [correction] a) Montrer que la forme différentielle 2 2 ω(x,y) = (xy−y + 1)dx + (x −xy− 1)dy n’est pas fermée. b) Déterminer les fonctions f :R→R dérivable telle que la forme différentielle ω(x,y)f(xy) soit exacte et déterminer ses primitives. Exercice 3 CCP MP [ 03367 ] [correction] a) Montrer que la forme différentielle 2 2ω(x,y) = (xy−y + 1)dx + (x −xy− 1)dy n’est pas fermée. b) Déterminer les fonctions f :R→R dérivable telle que la forme différentielle ω(x,y)f(xy) soit exacte et déterminer ses primitives. Exercice 4 CCP MP [ 02566 ] [correction] 2 2La forme différentielle ω(x,y) =x dy +y dx est-elle fermée? Exacte? Donner l’ensemble des cercles (parcourus une fois dans le sens direct) le long desquels ω est nulle? Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.