Sujet : Analyse, Compacité et complétude, Valeurs d'ahérences d'une suite

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Valeurs d’ahérences d’une suite Exercice 7 X MP [ 02947 ] [correction] u2nDéterminer les suites réelles bornées telle que u + converge.n 2 n>0 Exercice 1 [ 01170 ] [correction] Soit u une suite d’éléments de E. Etablir que Exercice 8 [ 03466 ] [correction]\ Adh(u) = {u /p>n}p On munit E =R[X] des normes données par les relations p∈N Z 1 kPk = sup |P(t)| et kPk = |P(t)| dtet en déduire que Adh(u) est une partie fermée. ∞ 1 t∈[0,1] 0 net l’on considère la suite (X ) d’éléments de E.n∈N Exercice 2 [ 03216 ] [correction] na) Vérifier que la suite (X ) est bornée pourk.k et converge vers 0 pour lan∈N ∞Soit (u ) une suite réelle vérifiantn normek.k .1 b) Comparerk.k etk.k .1 ∞u −u → 0n+1 n nc) En déduire que, bien que bornée, la suite (X ) ne possède pas de valeurn∈N d’adhérence pourk.k .Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de u est un intervalle. ∞ Exercice 3 X MP [ 02946 ] [correction] Soit a une suite de réels telle que a −a tend vers 0. Montrer que l’ensemblen+1 n des valeurs d’adhérence de a est un intervalle. Exercice 4 [ 01162 ] [correction] Soit K une partie compacte d’un espace vectoriel normé E. Montrer que si une suite (u ) d’éléments de K n’a qu’une seule valeurn d’adhérence alors cette suite converge vers celle-ci.