Sujet : Analyse, Compacité et complétude, Exponentielle de matrice, d'endomorphisme

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Exponentielle de matrice, d’endomorphisme Exercice 8 [ 03451 ] [correction] Sur E =R [X], on note D l’endomorphisme de dérivation et T l’endomorphismen de translation définis parExercice 1 Mines-Ponts MP [ 02709 ] [correction] 4Soit A∈M (K) avecK =R ouC telle que A =I . Déterminer exp(A).n n 0D(P) =P (X) et T(P(X)) =P(X +1) Etablir Exercice 2 [ 03135 ] [correction] exp(D) =T Soit u un endomorphisme nilpotent d’un K-espace vectoriel E de dimension finie. Etablir u uker(e −Id ) = keru et Im(e −Id ) = ImuE E Exercice 3 Mines-Ponts MP [ 02725 ] [correction] A trASi A∈M (C), montrer que dete = e .n Exercice 4 [ 03011 ] [correction] ASoit A∈M (R). Montrer que e ∈R[A].n Exercice 5 [ 01185 ] [correction] Soit A∈M (K). Etablir quep n A lim I + = exp(A) n→+∞ n Exercice 6 Centrale MP [ 02416 ] [correction] Soient A et B dansM (R). Montrer quep n A B lim exp exp = exp(A+B) n→+∞ n n Exercice 7 X PSI [ 03094 ] [correction] On note a b T = /a,b,c∈R 0 c +et T le sous-ensemble de T formé des matrices de coefficients diagonaux strictement positifs. a) Soit M∈T. Déterminer les puissances de M. Calculer exp(M). +b) L’application exp :T→T est-elle injective? surjective? Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.