Sujet : Analyse, Compacité et complétude, Espace complet

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Espace complet Montrer qu’il existe un naturel d tel que 1 ∀n>d,N(P −P)>Exercice 1 [ 03304 ] [correction] n d+1 ∞On note ‘ (N,C) l’espace des suites u = (u(n)) sommables normé parn∈N d) Conclusion? kuk = sup|u(n)|∞ n∈N Exercice 5 [ 01184 ] [correction]Montrer que cet espace normé est complet. On considère E =C([0,1],R) normé par Z 1 Exercice 2 [ 03296 ] [correction] kfk = |f(x)| dx 1 0On note ‘ (N,C) l’espace des suites complexes u = (u(n)) sommables normén∈N par Pour tout n∈N\{0,1}, on considère f : [0,1]→R définie parn+∞X kuk = |u(n)|1  1 si 06x6 1/2−1/n n=0 −nx+n/2 si 1/2−1/n6x6 1/2f (x) =n Montrer que cet espace normé est complet. 0 si 1/26x6 1 a) Montrer que la suite (f ) est de Cauchyn n∈N b) En déduire que l’espace vectoriel normé (E,k.k) n’est pas complet.Exercice 3 [ 03647 ] [correction] 2On note ‘ (N,R) l’espace des suites réelles u = (u(n)) de carrés sommablesn∈N normé par !1/2+∞ Exercice 6 Centrale MP [ 02476 ] [correction]X 2 ?kuk = (u(n)) Si n∈N , soit f la fonction continue égale à 0 sur [0,1/2], affine surn2 n=0 [1/2,1/2+1/(n+1)] et égale à 1 sur [1/2+1/(n+1),1]. a) Représenter f avec la fonction piecewise de Maple.nMontrer que cet espace normé est complet. b) Montrer que (f ) est de Cauchy pour la normek.k .n n>1 1 c) L’espace muni dek.k est-il complet?1 Exercice 4 [ 03297 ] [correction] nP kPour P = a X ∈K[X], on posek k=0 N(P) = max |a|k 06k6n a) Vérifier que N est une norme surK[X].