Sujet : Analyse, Compacité et complétude, Continuité et compacité

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Continuité et compacité Exercice 6 [ 01177 ] [correction] Soit f :A⊂E→F avec F espace vectoriel normé de dimension finie. On suppose que f est bornée et queExercice 1 [ 01172 ] [correction] Soient E un espace vectoriel normé de dimension finie non nulle et u∈L(E,F ). Γ ={(x,y)∈A×F/y =f(x)}f Montrer qu’il existe un vecteur x ∈E unitaire tel que0 est une partie fermée de E×F. kuk =ku(x )k0 Montrer que f est continue. Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02775 ] [correction]Exercice 2 [ 01173 ] [correction] Soient (E,k.k) un espace vectoriel normé, K un compact non vide de E etSoient E et F deux espaces vectoriels normés de dimensions finies. f :K→K telle queSoient K un compact de E et f :K→F une application continue injective. a) On pose L =f(K). Montrer que L est compact. 2−1 ∀(x,y)∈K ,x =y⇒kf(x)−f(y)k 0 x∈K,y∈L convexe non vide de E stable par u. ?Si n∈N , soit n−1X1 iu = unExercice 4 [ 01175 ] [correction] n i=0Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie. a) Montrer que :a) Soit A une partie non vide de E. Montrer que l’application x7→d(x,A) est ∀n∈N,u (C)⊂Ccontinue sur E. n b) Soit K un compact non vide inclus dans un ouvert U. b) Soit x∈u (C). Proposer un majorant de N (x−u(x))n Montrer qu’il existe α> 0 tel que∀x∈K,B(x,α)⊂U. c) Montrer que \ u (C) =∅n ?n∈N Exercice 5 [ 01176 ] [correction] d) Montrer que u possède un point fixe dans K. Soit K un compact d’un espace vectoriel normé E de dimension finie.