Sujet : Analyse, Compacité et complétude, Complétude

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Complétude Exercice 6 [ 03473 ] [correction] Soient E un espace de Banach de normek.k et f une application de E vers E. On dit que f est contractante siExercice 1 [ 01178 ] [correction] Montrer que toute suite convergente est de Cauchy ∃k∈ [0, 1[,∀x,y∈E,kf(y)−f(x)k6kky−xk a) Montrer que si f est contractante alors f admet un unique point fixe. Exercice 2 [ 01180 ] [correction] ? pb) Montrer que s’il existe p∈N tel que f soit contractante alors f admet un Soit (u ) une suite de Cauchy d’éléments d’une partie compacte K d’un espacen unique point fixe. vectoriel normé. Montrer que (u ) converge. En déduire qu’une partie compacte est complèten Exercice 7 [ 01182 ] [correction] Soient E et F deux espaces vectoriels normés avec F complet. Exercice 3 [ 01179 ] [correction] Soit f :E×F→F une application continue vérifiant : Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel normé E. ∃k∈ [0, 1[,∀λ∈E,∀x,y∈F,kf(λ,x)−f(λ,y)k6kkx−yk.¯a) On suppose E de dimension finie. Montrer que F =F. Par application du théorème du point fixe, il existe un unique x ∈F vérifiantλ b) On ne suppose plus E de dimension finie mais seulement F de dimension finie. f(λ,x ) =x .λ λ Montrer que le résultat perdure. Montrer que l’application λ7→x est continue.