Sujet : Analyse, Calcul différentiel, Extremum

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Extremum Exercice 8 [ 00065 ] [correction] Calculer 1 1 Exercice 1 [ 00058 ] [correction] inf + +xy x,y>0 x y Déterminer les extrema locaux et globaux de 3 3f(x,y) =x +y −3xy Exercice 9 Centrale MP [ 00070 ] [correction] Soit a> 0. Montrer que a f : (x,y)7→x+y+Exercice 2 [ 00059 ] [correction] xy 2Trouver les extrema surR de +? 2admet un minimum strict sur (R ) 4 4f(x,y) =x +y −4xy Exercice 10 Mines-Ponts MP [ 00071 ] [correction] Soit a> 0. On pose, pour x> 0 et y> 0,Exercice 3 [ 00060 ] [correction] Extrema locaux et globaux de a2 2f(x,y) =x +y + xy2 2f(x,y) =y(x +(lny) ) Montrer que f admet un minimum absolu et calculer ce dernier. Exercice 4 Centrale MP [ 00061 ] [correction] 2 Exercice 11 [ 00072 ] [correction]Trouver les extrema surR de Soient U un ouvert convexe et f :U→R une fonction convexe et différentiable. 2 2f(x,y) =x +xy+y +2x−2y Montrer que tout point critique est un minimum global. Exercice 5 Mines-Ponts MP [ 02910 ] [correction] Exercice 12 [ 00268 ] [correction] 2Trouver les extrema surR de Déterminer xy sup 4 4 2 2 (1+x)(1+y)(x+y)f(x,y) =x +y −2(x−y) (x,y)∈]0,+∞[ Exercice 13 CCP MP [ 03347 ] [correction]Exercice 6 Centrale MP [ 02463 ] [correction] n2lnx lny On considère l’espace vectorielR muni de son produit scalaire usuel notéh.|.i.Déterminer les extremums de x +y sur ]0,+∞[ . nSoit f un endomorphisme symétrique deR dont toutes les valeurs propres sont strictement positives.