Sujet : Analyse, Calcul différentiel, Equations aux dérivées partielles d'ordre 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Equations aux dérivées partielles d’ordre 1 Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02913 ] [correction] 2 ∞On note U l’ensemble des (x,y) deR tels que x> 0 et E =C (U,R). Soit αf :U→R etα∈R; on dit que f est homogène de degré α sif(tx,ty) =t f(x,y)Exercice 1 [ 00044 ] [correction] +?2 pour tous t∈R , (x,y)∈U. On pose :Résoudre surR l’équation aux dérivées partielles ( ∂f ∂f ∂f ∂f u = 2x +y ∀f∈E,∀(x,y)∈U, Φ(f)(x,y) =x (x,y) +y (x,y) (x,y)− 3 (x,y) = 0 via ∂x ∂y ∂x ∂y v = 3x +y a) Déterminer ker Φ. b) Soit f∈E. Montrer que f est homogène de degré α si, et seulement si, Φ(f) =αf.Exercice 2 [ 01765 ] [correction] 2 c) Résoudre l’équation d’inconnue f∈E, Φ(f) =h, h étant la fonction qui àRésoudre surR 2 2 3/2( (x,y) associe (x +y ) xy. ∂f ∂f u =x +y (x,y) + (x,y) =f(x,y) via ∂x ∂y v =x−y Exercice 7 [ 03793 ] [correction] On étudie l’équation aux dérivées partielles Exercice 3 [ 00076 ] [correction] ∂f ∂f+?En passant en coordonnées polaires, déterminer les fonctions f :R × R→R de (E) :x (x,y) +y (x,y) =f(x,y) 1 ∂x ∂yclasseC solutions de l’équation aux dérivées partielles 1 2où la fonction inconnue f est de classeC deR versR.∂f ∂f x +y = 0 a) Montrer l’existence de solution.∂x ∂y 2b) Soit g :t7→f(tx,ty) avec (x,y) un couple deR . 1Montrer que g est de classeC et exploiter cette fonction pour résoudre l’équation (E).Exercice 4 [ 00080 ] [correction] +?