Sujet : Analyse, Calcul différentiel, Différentielle

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Différentielle Exercice 8 [ 00035 ] [correction] Montrer que l’application Z 1 2Exercice 1 [ 00028 ] [correction] P7→ P(t) dt ?Justifier que la fonction f :C →C définie par f(z) = 1/z est différentiable et 0 calculer sa différentielle. définie sur E =R [X] est différentiable et exprimer sa différentielle.n Exercice 2 [ 00029 ] [correction] Exercice 9 [ 00036 ] [correction] 1Soient E et F deuxR-espaces vectoriels de dimension finies et ϕ :E×E→F une Soit f :E→F de classeC et vérifiant f(λx) =λf(x) pour tout λ∈R et tout application bilinéaire. x∈E. Etablir que ϕ est différentiable et calculer sa différentielle dϕ. Montrer que l’application f est linéaire. Exercice 10 [ 00037 ] [correction]Exercice 3 [ 00030 ] [correction] Soient E un espace euclidien et u un endomorphisme autoadjoint de E.Soit E un espace vectoriel euclidien. a) Montrer que l’application f :x∈E7→ (u(x)|x) est différentiable sur E eta) En quels points l’application x7→kxk est-elle différentiable?2 calculer sa différentielle en tout point.b) Préciser en ces points le vecteur gradient. b) Montrer que (u(x)|x) Exercice 4 [ 00031 ] [correction] F :x∈E\{0 }7→E (x|x)2a) Soit f :M (R)→M (R) définie par f(M) =M .n n 1Justifier que f est de classeC et déterminer la différentielle de f en tout est différentiable sur E\{0 } et que sa différentielle vérifieE M∈M (R).n 3 dF(a) = 0⇔a est vecteur propre de ub) Soit f :M (R)→R définie par f(M) = tr(M ).