Sujet : Analyse, Calcul différentiel, Dérivées partielles et classe

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Dérivées partielles et classe Exercice 5 Mines-Ponts MP [ 02906 ] [correction] 2Soit g :R→R de classeC . On pose Exercice 1 [ 00040 ] [correction] g(x)−g(y)2 0Soit f :R −{(0,0)}→R définie par f(x,y) = pour x =y et f(x,x) =g (x) x−y 2 2 2 2f(x,y) = (x −y )ln(x +y ) a) Exprimer f(x,y) à l’aide d’une intégrale sur l’intervalle [0,1]. 1b) En déduire que f est de classeC .a) Est-il possible de prolonger f par continuité en (0,0)? 1 2b) Etablir que f est de classeC surR −{(0,0)} et, sans calculs, établir ∂f ∂f (x,y) =− (y,x) ∂x ∂y 1 2c) La fonction f est-elle de classeC surR ? Exercice 2 [ 00041 ] [correction] 1 2Soient f :R→R une fonction de classeC et F :R\{(0,0)}→R définie par 2 2f(x +y )−f(0) F(x,y) = 2 2x +y a) Déterminer lim F(x,y). On prolonge F par continuité en (0,0) et on (x,y)→(0,0) 2suppose de surcroît f de classeC . b) Justifier que F est différentiable en (0,0) et y préciser sa différentielle. 1c) Montrer que F est de classeC . Exercice 3 Centrale MP [ 02460 ] [correction] On pose cosx−cosy ϕ(x,y) = pour x =y x−y 2a) Montrer que ϕ admet un prolongement par continuité àR noté encore ϕ. 1 ∞b) Montrer que ϕ estC puisC . Exercice 4 Mines-Ponts MP [ 02905 ] [correction] On pose 2 2x −y f(x,y) =xy 2 2x +y pour x,y réels non tous deux nuls. 2La fonction f admet-elle un prolongement continue àR ? Un prolongement de 1 2classeC ? de classeC ?