Sujet : Analyse, Calcul différentiel, Dérivées partielles de fonctions composées

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Dérivées partielles de fonctions composées Exercice 5 [ 00049 ] [correction] 2Soient f : (x,y)7→f(x,y) de classeC et g : (r,θ)7→f(rcosθ,rsinθ). 2Justifier que g est de classeC et exprimerExercice 1 [ 00043 ] [correction] 2 1Soit f :R →R de classeC vérifiant 2 2∂ f ∂ f + 2 22 ∂x ∂y ∀(x,y)∈R ,f(x,y) =f(y,x) en fonction des dérivées partielles de g. Quelle relation existe-t-il entre les dérivées partielles de f ? Exercice 6 [ 00047 ] [correction] 2 1Exercice 2 [ 00046 ] [correction] Soit f :R →R de classeC telle que 2 1Soit f :R →R une fonction de classeC . ∂f ∂f2On dit que f est homogène de degré α∈R si, et seulement si, ∀(x,y)∈R ,x (x,y)+y (x,y) = 0 ∂x ∂y 2 α∀t> 0,∀(x,y)∈R , f(tx,ty) =t f(x,y) Montrer la constance de l’application suivante Za) Montrer que 2π ∂f ∂f ϕ :r7→ f(rcost,rsint)dt x +y =αf 0∂x ∂y b) Etablir la réciproque. Exercice 7 [ 03675 ] [correction] 2 1Soient α∈R et f :R →R de classeC telle que Exercice 3 [ 00048 ] [correction] ∂f ∂f21 ∀(x,y)∈R ,x (x,y)+y (x,y) =αf(x,y)Soient f : (x,y)7→f(x,y) de classeC et g : (r,θ)7→f(rcosθ,rsinθ). ∂x ∂y 1Justifier que g estC et exprimer les dérivées partielles de f en fonction de celles de g. Exprimer Z 2π ϕ :r∈ [0,+∞[7→ f(rcost,rsint)dt 0 Exercice 4 Centrale PC [ 01327 ] [correction] +? 2Déterminer les fonctions f :R →R de classeC telle que Exercice 8 [ 00050 ] [correction] n 2 2Soient f∈C (R ,R) telle queF :R \{0}→R q 2 22 2 ∂ f ∂ f(x ,...