Sujet : Algèbre, Structures algébriques, Sous-groupe

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Sous-groupe a) Démontrer que ce sont des permutations de E. b) Construire la table donnant la composée de deux éléments quelconques de l’ensemble G ={i,f,g,h,k,l}.Exercice 1 [ 02208 ] [correction] c) Montrer que G muni de la composition des applications est un groupe nonSoit ω∈C et H ={a+ωb/a,b∈Z}. commutatif.Montrer que H est un sous groupe de (C,+). Exercice 8 [ 02215 ] [correction] Soit H et K deux sous-groupes d’un groupe (G,?) tels que H∪K en soit aussi unExercice 2 [ 02209 ] [correction] ? n sous-groupe. Montrer que H⊂K ou K⊂H.Soit a∈C et H ={a /n∈Z}. ?Montrer que H est un sous groupe de (C ,×). Exercice 9 [ 02216 ] [correction] Soit (G, ?) un groupe et A une partie finie non vide de G stable pour ?. nExercice 3 [ 02210 ] [correction] a) Soit x∈A et ϕ :N→G l’application définie par ϕ(n) =x . Soit a un élément d’un ensemble E. On forme H ={f∈S(E)|f(a) =a}. Montrer que ϕ n’est pas injective. −1Montrer que H est un sous-groupe de (S(E),◦) b) En déduire que x ∈A puis que A est un sous-groupe de (G, ?). Exercice 10 [ 02217 ] [correction] Exercice 4 [ 02211 ] [correction] Pour a∈N, on note aZ ={ak/k∈Z}. Soit (G,×) un groupe, H un sous groupe de (G,×) et a∈G. a) Montrer que aZ est un sous-groupe de (Z,+).−1 −1a) Montrer que aHa = axa /x∈H est un sous groupe de (G,×).