Sujet : Algèbre, Structures algébriques, Loi de composition interne

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Loi de composition interne Exercice 6 [ 02195 ] [correction] Soit (E, ? ) un monoïde. Un élément x de E est dit idempotent si, et seulement si, x ? x =x.Exercice 1 [ 02190 ] [correction] a) Montrer que si x et y sont idempotents et commutent, alors x ? y estOn définit une loi de composition interne ? surR par idempotent. −12 a b b) Montrer que si x est idempotent et inversible, alors x est idempotent.∀(a,b)∈R , a ? b = ln(e + e ) Quelles en sont les propriétés? Possède-t-elle un élément neutre? Y a-t-il des Exercice 7 [ 02196 ] [correction] éléments réguliers? Soit E et F deux ensembles et ϕ :E→F une application bijective. On suppose E muni d’une loi de composition interne ? et on définit une loi > sur F par : Exercice 2 [ 02191 ] [correction] −1 −1∀x,y∈F,x>y =ϕ(ϕ (x) ? ϕ (y)) Soit E = [0, 1]. On définit une loi ? sur E par a) Montrer que si ? est commutative (resp. associative) alors > l’est aussi. b) Montrer que si ? possède un neutre e alors > possède aussi un neutre à∀x,y∈E,x ? y =x +y−xy préciser. a) Montrer que ? est une loi de composition interne commutative et associative. b) Montrer que ? possède un neutre. Exercice 8 [ 02197 ] [correction] c) Quels sont les éléments symétrisables? réguliers? Soit ? une loi de composition interne associative sur E. On suppose qu’il existe a∈E tel que l’application f :E→E définie par f(x) =a ? x ? a soit surjective et on note b un antécédent de a par f.