Sujet : Algèbre, Structures algébriques, Groupes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Groupes Exercice 7 [ 02207 ] [correction] [Addition des vitesses en théorie de la relativité] Soit c>0 (c correspond à la vitesse - ou célérité - de la lumière) et I =]−c,c[.Exercice 1 [ 02201 ] [correction] a) MontrerSoit (G, ?) un groupe tel que x+y2 ∀(x,y)∈I , x ? y = ∈Ixy2 1+∀x∈G,x =e 2c b) Montrer que la loi ? munit I d’une structure de groupe abélien.Montrer que G est commutatif. Cette loi ? correspond à l’addition des vitesses portées par un même axe en théorie de la relativité. Exercice 2 [ 02202 ] [correction] Soit (E, ?) un monoïde de neutre e. On suppose que ?2∀x∈E,x =e Montrer que (E, ?) est un groupe abélien. Exercice 3 [ 02203 ] [correction] Soit (E, ?) un monoïde avec E ensemble fini. On suppose que tous les éléments de E sont réguliers. Montrer que E est un groupe. Exercice 4 [ 02204 ] [correction] Soit (G, ?) un groupe à n éléments. Justifier que sa table de composition est un carré latin c’est à dire que tout élément deG figure une fois et une seule dans chaque ligne et dans chaque colonne. Exercice 5 [ 02205 ] [correction] ?Soit G=R × R et ? la loi de composition interne définie sur G par 0 0 0 0(x,y) ? (x,y )=(xx,xy +y) a) Montrer que (G, ?) est un groupe non commutatif. +?b) Montrer queR × R est un sous-groupe de (G, ?). Exercice 6 [ 02206 ] [correction] Sur G=]−1,1[ on définit une loi ? par x+y ∀x,y∈G,x ? y = 1+xy Montrer que (G, ?) est un groupe abélien.