Sujet : Algèbre, Structures algébriques, Etude du groupe symétrique

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Etude du groupe symétrique Exercice 7 [ 02230 ] [correction] Soit n> 5. 0 0 0a b c a b cMontrer que si et sont deux cycles d’ordre 3 deS ,nExercice 1 [ 02224 ] [correction] 2 alors il existe une permutation σ, paire, telle que Soient n un entier supérieur à 2, (i,j)∈{1,2,...,n} tel que i =j et σ∈S .n −1 0 0 0σ◦ a b c ◦σ = a b c . Montrer que σ et τ = i j commutent si, et seulement si,{i,j} est stable par σ. Exercice 8 [ 02231 ] [correction] Exercice 2 [ 02225 ] [correction] Soit n> 2 et c la permutation circulaire c = ( 1 2 ... n−1 n ). DansS avec n> 2, on considère une permutation σ et un p-cycle : Déterminer toutes les permutations σ deS qui commutent avec c.n n c = a a ... a1 2 p −1Observer que la permutation σ◦c◦σ est un p-cycle qu’on précisera. Exercice 3 [ 02226 ] [correction] Déterminer la signature de : 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 a) σ = b) σ = 3 5 4 8 7 6 2 1 1 3 2 7 4 8 5 6 Exercice 4 [ 02227 ] [correction] ?Soit n∈N . Déterminer la signature de la permutation suivante : 1 2 ··· n−1 n a) σ = . n n−1 ··· 2 1 1 2 3 ... n n+1 n+2 ... 2n−1 2n b) σ = . 1 3 5 ... 2n−1 2 4 ... 2n−2 2n Exercice 5 [ 02228 ] [correction] Soit n> 2 et τ une transposition deS .n a) Montrer que l’application σ7→τ◦σ est une bijection deS versS .n n b) En déduire le cardinal de l’ensembleA formé des permutations paires deS .