Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Trigonalisation

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Trigonalisation Exercice 6 [ 00820 ] [correction] Soit   2 −1 −1 Exercice 1 [ 00816 ] [correction]  A = 2 1 −2 Montrer qu’une matrice triangulaire inférieure est trigonalisable. 3 −1 −2 a) Calculer le polynôme caractéristique de A. b) Trigonaliser la matrice A. Exercice 2 [ 00817 ] [correction] Soit A∈M (K). On suppose χ scindé.n A a) Justifier que A est trigonalisable. Exercice 7 [ 00821 ] [correction] b) Etablir que pour tout k∈N, Soit   0 1 1 k k  Sp(A ) = λ /λ∈ Sp(A) A = −1 1 1 −1 1 2 a) Calculer le polynôme caractéristique de A. Exercice 3 [ 00818 ] [correction] b) Trigonaliser la matrice A. Soit A∈M (C) de polynôme caractéristiquen nY Exercice 8 Centrale MP [ 02389 ] [correction] (X−λ )i a) Soient A et B dansM (K) telles que AB =BA. Montrer que B∈K[A] ou2 i=1 A∈K[B]. b) Le résultat subsiste-t-il dansM (K)?3Déterminer une matrice de polynôme caractéristique nY p Exercice 9 Centrale MP [ 02395 ] [correction](X−λ )i Soit E un espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle. Soient u et vi=1 des endomorphismes de E; on pose [u,v] =uv−vu. a) On suppose [u,v] = 0. Montrer que u et v sont cotrigonalisables. ?b) On suppose [u,v] =λu avec λ∈C . Montrer que u est nilpotent et que u et vExercice 4 [ 00819 ] [correction] sont cotrigonalisables.Montrer que pour tout A∈M (C), det(exp(A)) = exp(trA).n c) On suppose l’existence de complexes α et β tels que [u,v] =αu+βv.