Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Théorème de Cayley Hamilton

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Théorème de Cayley Hamilton Exercice 6 [ 00840 ] [correction] Soient A,B,M∈M (C) telles que AM =MB avec M =O .n n a) Montrer que pour tout P∈C[X], on a P(A)M =MP(B).Exercice 1 [ 00834 ] [correction] b) Montrer que A et B ont une valeur propre en commun.Déterminer un polynôme annulateur de a b A = ∈M (K)2 Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02667 ] [correction]c d nMontrer qu’il existe (a ,...,a )∈R tel que :0 n−1 −1Exprimer A lorsque celle-ci existe. n−1X ∀P∈R [X],P(X +n)+ a P(X +k) = 0n−1 k k=0 Exercice 2 [ 00835 ] [correction] Soit   Exercice 8 Centrale MP [ 03114 ] [correction]λ ?1 Dans cet exercice, n est un entier supérieur ou égal à deux et q un nombre ..A∈ ∈M (K) . n ? kcomplexe non nul tel que pour tout k∈Z , q = 1. On considère également une 0 λn matrice A∈M (C).n 1. On suppose qu’il existe M∈ GL (C) telle quenMontrer que (X−λ )...(X−λ ) est annulateur de A.1 n −1M AM =qA On notre χ le polynôme caractéristique de A. Déterminer une relation entreA Exercice 3 [ 03019 ] [correction] X? χ (X) et χ .Soit u un automorphisme d’unK-espace vectoriel E de dimension finie n∈N . A A q −1Montrer que u est un polynôme en u. En déduire que A est nilpotente. 2. Cette question est à résoudre à l’aide du logiciel de calcul formel. Dans cette question, on suppose que q = 2 et que A est donnée par :  Exercice 4 [ 00836 ] [correction] 0 1 0 0 0 1 Soit f un endomorphisme d’unC-espace vectoriel E de dimension n.