Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Sous-espaces vectoriels stables

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Sous-espaces vectoriels stables Exercice 6 [ 00759 ] [correction] ?Soient u et v deux endomorphismes d’unK-espace vectoriel de dimension n∈N . On suppose u◦v =v◦u et v nilpotent.Exercice 1 [ 00755 ] [correction] On désire montrer que det(u +v) = detu en raisonnant par récurrence sur laSoient u et v deux endomorphismes d’unK-espace vectoriel E. dimension n> 1.On suppose que u et v commutent, montrer que Imu et keru sont stables par v. a) Traiter le cas n = 1 et le cas v = 0.Que dire de la réciproque? b) Pourn> 2 etv = 0, former les matrices deu etv dans une base adaptée à Imv. c) Conclure en appliquant l’hypothèse de récurrence aux restrictions de u et v au départ de Imv.Exercice 2 [ 00756 ] [correction] Montrer qu’un endomorphisme f d’unK-espace vectoriel E commute avec un projecteur p si, et seulement si, les espaces Imp et kerp sont stables par f. Exercice 7 Centrale MP [ 00760 ] [correction] Soit E =E ⊕E unK-espace vectoriel. On considère1 2 Exercice 3 [ 00757 ] [correction] Γ ={u∈L(E), keru =E et Imu =E}1 2 Déterminer les sous-espaces vectoriels stables pour l’endomorphisme de dérivation a) Montrer, pour tout u de Γ que u˜ =u est un automorphisme de E .E 22dansK [X]. Soit φ : Γ→ GL(E ) définie par φ(u) =u˜.2 b) Montrer que◦ est une loi interne dans Γ. c) Montrer que φ est un morphisme injectif de (Γ,◦) dans (GL(E ),◦).2Exercice 4 [ 00758 ] [correction] d) Montrer que φ est surjectif.