Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Polynômes annulateurs et valeurs propres

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Polynômes annulateurs et valeurs propres Exercice 1 [ 00830 ] [correction] Soit P un polynôme annulateur d’un endomorphisme f. Montrer que si λ est valeur propre de f alors P (λ) = 0. Exercice 2 [ 00831 ] [correction] ˜ ˜Pour f∈F(R,R), on note f :x7→f(−x). L’application ϕ :f7→f est clairement un endomorphisme involutif deF(R,R). Quelles en sont les valeurs propres? Exercice 3 [ 00832 ] [correction] Soit T :R [X]→R [X] l’endomorphisme défini par T (P ) =P (1−X). a) Montrer que T est un automorphisme. b) Déterminer valeurs propres de T. Exercice 4 [ 00833 ] [correction] Montrer que si un endomorphisme u d’unK-espace vectoriel E admet un polynôme minimal Π alors les valeurs propres de u sont exactement les racinesu de son polynôme minimal. Exercice 5 Mines-Ponts MP [ 02715 ] [correction] t 2Trouver les M deM (R) telles que M =M et que M n’ait aucune valeurn propre réelle. Exercice 6 [ 00783 ] [correction] Soit A∈M (C) nilpotente.n a) Calculer χ .A b) Même question avec A∈M (R).n Exercice 7 CCP MP [ 03191 ] [correction] a) Montrer que si P est un polynôme annulateur d’un endomorphisme f alors P (λ) = 0 pour toute valeur propre λ de f. b) Montrer que si f vérifie 3 2f + 2f −f− 2Id = 0 alors f est bijectif. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.