Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Polynôme en un endomorphisme

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Polynôme en un endomorphisme Exercice 7 [ 02574 ] [correction] DansM (R), on considère la matricen  Exercice 1 [ 00753 ] [correction] 0 1 (0) Soient E unK-espace vectoriel de dimension n et u∈L(E).  . .. . On suppose qu’il existe un vecteur x ∈E telle que la famille . .0  J =n−1  (x ,u(x ),...,u (x )) soit libre. .0 0 0 . . 1Montrer que seuls les polynômes en u commutent avec u. (0) 0 Exprimer simplement P(aI +J) pour P∈R[X].n Exercice 2 [ 00754 ] [correction] 3Soit u∈L(E) vérifiant u = Id. Justifier 2ker(u−Id)⊕ker(u +u+Id) =E Exercice 3 [ 03423 ] [correction] Soient A,B∈M (K). On suppose qu’il existe un polynôme non constantn P∈K[X] vérifiant AB =P(A) et P(0) = 0 Montrer que A est inversible et que A et B commutent. Exercice 4 X MP [ 03033 ] [correction] Soient A et B dansM (R). On suppose que A est nilpotente et qu’il existen P∈R[X] tel que P(0) = 1 et B =AP(A). Montrer qu’il existe Q∈R[X] tel que Q(0) = 1 et A =BQ(B). Exercice 5 [ 03210 ] [correction] pSoient A∈ GL (C) et B∈M (C) telle que B =O .n n n −1a) Montrer que I +A BA est inversible et exprimer son inverse.n b) On pose H ={I +P(B)/P∈C[X],P(0) = 0}n Montrer que H est un sous-groupe commutatif de (GL (C),×).n Exercice 6 CCP PSI [ 02598 ] [correction] Soient A et B deux matrices réelles carrées d’ordre n telles qu’il existe un polynôme P∈R[X] de degré au moins égal à 1 et vérifiant P(0) = 1 et AB =P(A).