Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Polynôme annulateur, polynôme minimal

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Polynôme annulateur, polynôme minimal Exercice 6 [ 00826 ] [correction] Soit u un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E. Si u admet un polynôme minimal Π et si F est un sous-espace vectoriel stableuExercice 1 [ 02916 ] [correction] par u alors montrer que u admet un polynôme minimal et que celui-ci divise Π .F uSoit M∈M (K) une matrice triangulaire par blocs de la formen A C Exercice 7 [ 00827 ] [correction]M = avec A∈M (K) et B∈M (K)p qO B 2Montrer qu’une matrice A∈M (K) de polynôme minimal (X− 1) est semblablen à une matrice diagonale par blocs avec des blocs diagonaux de la forme On suppose connus deux polynômes P et Q∈K [X] annulateurs de A et B respectivement. 1 1 ( 1 ) ou Exprimer en fonction de P et Q un polynôme annulateur de M. 0 1 Exercice 8 [ 00829 ] [correction] Exercice 2 [ 00822 ] [correction] Soient f et g deux endomorphismes d’unK-espace vectoriel E tels que Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie et u∈L(E). f◦g−g◦f =I. p n n n−1Justifier l’existence d’un entier p> 0 tel que la famille (Id,u,...,u ) soit liée. a) Montrer que, pour tout entier n> 1, on a f ◦g−g◦f =nf . En déduire que u possède un polynôme annulateur non nul. b) En dimension finie non nulle, montrer qu’il n’existe pas deux endomorphismes f et g tels que f◦g−g◦f =I. 0c) Montrer que dans E =K [X] les endomorphismes f et g définis par f(P ) =P Exercice 3 [ 00823 ] [correction] et g(P ) =XP conviennent.