Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Polynôme caractéristique

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Polynôme caractéristique Exercice 7 [ 02901 ] [correction] Soit A∈M (C). Montrern χ ¯∈R [X]AAExercice 1 [ 00778 ] [correction] a) Montrer que deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique. b) Réciproque? Exercice 8 [ 01272 ] [correction] Soient A∈M (K), B∈M (K) et λ∈K. En multipliant à droite et à gauchen,p p,n la matrice Exercice 2 [ 00779 ] [correction] −λI AnM = ∈M (K)Soit F un sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme u d’unK-espace n+pB Ip vectoriel E de dimension finie. par des matrices triangulaires par blocs bien choisies, établirEtablir que le polynôme caractéristique de l’endomorphisme induit par u sur F divise le polynôme caractéristique de u. p n(−λ) χ (λ) = (−λ) χ (λ)AB BA Exercice 3 [ 00780 ] [correction] Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 02697 ] [correction]Soit A∈M (R) inversible de polynôme caractéristique χ .n A Soit (A,B)∈M (R)×M (R). Montrer quep,q q,pEtablir que pour tout x = 0, q pn n X χ (X) =X χ (X)AB BA(−1) x χ −1(x) = χ (1/x)A A χ (0)A Indice : Commencer par le cas où I 0r A =Exercice 4 [ 00781 ] [correction] 0 0 Soient A,B∈M (C). On désire établir l’égalité des polynômes caractéristiquesn χ =χAB BA Exercice 10 Mines-Ponts MP [ 02698 ] [correction] a) Si P∈Z [X] est unitaire de degré n, existe-t-il A∈M (Z) de polynômena) Etablir l’égalité quand A∈ GL (C).n caractéristique P ?1b) Pour A∈/ GL (C), justifier que pour p∈N assez grand A + I ∈ GL (C).