Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Nilpotence

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Nilpotence Exercice 6 X MP [ 00938 ] [correction] ?Soient n∈N , A et B dansM (C) et λ ,...,λ ,λ deux à deux distincts dansn 1 n n+1 C. On suppose, pour 16i6n + 1, que A +λ B est nilpotente.iExercice 1 [ 00863 ] [correction] Montrer que A et B sont nilpotentes.Soit A∈M (C) une matrice nilpotente.n a) Montrer que A est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte. b) Le résultat est-il encore vrai pour A∈M (R)?n Exercice 7 X MP [ 03023 ] [correction] Soient E unC-espace vectoriel de dimension finie et u∈L(E). On noteI ={P∈C [X]/P (u) = 0} etI ={P∈C [X]/P (u) est nilpotent}.1 2Exercice 2 [ 00837 ] [correction] a) Montrer queI etI sont des idéaux non nuls deC [X].1 2Soit u un endomorphisme d’unC-espace vectoriel E de dimension finie. On note P et P leurs générateurs unitaires respectifs.1 2Montrer que u possède une seule valeur propre si, et seulement si, il existe λ∈C b) Etablir un lien entre P et P .1 2tel que u−λId soit nilpotent.E c) Montrer l’existence de Q∈I tel que u−Q(u) est diagonalisable2 Exercice 3 [ 00828 ] [correction] Exercice 8 X PC [ 03095 ] [correction] Soient E un espace vectoriel réel de dimension finie, f et g deux endomorphismes Soit Φ :M (R)→R vérifiant2de E vérifiant f◦g−g◦f =f 0 1 ∀A,B∈M (R), Φ(AB) = Φ(A)Φ(B) et Φ = Φ(I )2 21 0a) Calculer n nf ◦g−g◦f a) Démontrer que Φ(O ) = 0.2 0b) Soit P un polynôme. Montrer que si P (f) = 0 alors f◦P (f) = 0.