Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Etude pratique des éléments propres d'un endomorphisme

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Etude pratique des éléments propres d’un Exercice 6 [ 00771 ] [correction] Soit E le sous-espace vectoriel des fonctions deC([0, +∞[R) s’annulant en 0.endomorphisme Pour tout f∈E, on définit ϕ(f) : [0, +∞[→R par Z x Exercice 1 [ 00767 ] [correction] 1 ϕ(f)(0) = 0 et ϕ(f)(x) = f(t) dt pour x> 0 On considère les matrices réelles x 0 1 0 a b a) Montrer que ϕ(f)∈E puis que ϕ est un endomorphisme de E.A = et M = 0 2 c d b) Déterminer les éléments propres de ϕ. a) Calculer AM−MA. b) Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme M7→AM−MA. Exercice 7 [ 03435 ] [correction] Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues de [0, +∞[ versR. Pour tout f∈E, on définit T (f) : ]0, +∞[→R par Exercice 2 [ 00768 ] [correction] ∞ 0 Z xSoient E =C (R,R) et D l’endomorphisme de E qui à f associe sa dérivée f . 1 T (f)(x) = f(t) dt pour x> 0Déterminer les valeurs propres de D ainsi que les sous-espaces propres associés. x 0 a) Montrer que la fonction T (f) se prolonge par continuité en 0 et qu’alors T un Exercice 3 [ 00769 ] [correction] endomorphisme de E. 0Soient E =C (R,R) et I l’endomorphisme de E qui à f∈E associe sa primitive b) Déterminer les éléments propres de T. qui s’annule en 0. Déterminer les valeurs propres de I. Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02700 ] [correction] Soit E =C([0, 1],R).