Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Etude de matrices diagonalisables

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Etude de matrices diagonalisables Exercice 7 [ 03122 ] [correction] ?Soient p,q∈N et A,B,M∈M (C) avec A,B diagonalisables. Montrern Exercice 1 [ 00796 ] [correction] p q A MB =O ⇒AMB =Ot n nMontrer que si A est diagonalisable alors A l’est aussi. Exercice 2 [ 01673 ] [correction] Soient A∈ GL (K) et B∈M (K).n n On suppose la matrice AB diagonalisable. Montrer que BA est diagonalisable. Exercice 3 [ 00797 ] [correction] Soient A ∈M (K), A ∈M (K) et A∈M (K) définie par1 p 2 q p+q A O1A = O A2 Montrer que A est diagonalisable si, et seulement si, A et A le sont.1 2 Exercice 4 [ 00798 ] [correction] O InSoient A∈M (K) et B = .n A O a) Etudier les valeurs propres de B en fonction de celles de A. b) On suppose A diagonalisable. B est-elle diagonalisable? Exercice 5 Centrale PC [ 03113 ] [correction] a) Soit D∈M (C). Déterminer l’inverse den I Dn O In n b) Soient A,B∈M (C) diagonalisables telles que SpA∩SpB =∅.n Montrer que pour tout matriceC∈M (C), les matrices suivantes sont semblablesn A C A Onet O B O Bn n Exercice 6 [ 02453 ] [correction] Soient A,B∈M (R) avec B diagonalisable.n Montrer 3 3AB =B A⇒AB =BA Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.