Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Etude d'endomorphismes diagonalisables

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Etude d’endomorphismes diagonalisables Exercice 5 [ 00809 ] [correction] Soit f un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E de dimension n admettant exactement n valeurs propres distinctes.Exercice 1 [ 00805 ] [correction] n−1a) Montrer qu’il existe un vecteur a∈E tel que la famille (a,f(a),...,f (a))Soient f,g endomorphisme d’unK-espace vectoriel E de dimension finie. soit une base de E.On suppose que f est diagonalisable. Montrer : b) Quelle est la forme de la matrice de f dans cette base? f◦g =g◦f⇔ chaque sous-espace propre de f est stable par g Exercice 6 [ 00810 ] [correction] Soient D = diag(λ ,...,λ ) et ϕ :M7→DM−MD endomorphisme deM (K).1 n nExercice 2 [ 00806 ] [correction] a) Calculer ϕ(E ) où E désigne la matrice élémentaire d’indice (i,j) dei,j i,jSoit v un endomorphisme d’unC-espace vectoriel E de dimension finie M (K).ndiagonalisable. Quelle particularité présente la matrice de ϕ relativement à la base canonique dea) Montrer qu’il existe un endomorphisme u de E vérifiant M (K)?n 2 b) Soit f un endomorphisme diagonalisable d’un K-espace vectoriel E deu =v dimension finie. b) Montrer qu’on peut choisir u solution qui soit un polynôme en v (indice : on L’endomorphisme φ :u7→f◦u−u◦f deL(E) est-il diagonalisable? pourra introduire un polynôme interpolateur). Exercice 7 X MP [ 02675 ] [correction] Exercice 3 [ 00807 ] [correction] Soit E unC-espace vectoriel de dimension finie.