Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Eléments propres et diagonalisabilité d'un endomorphisme

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Eléments propres et diagonalisabilité d’un Exercice 6 [ 00804 ] [correction] Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie, f∈L(E) et F∈L(L(E))endomorphisme définie par F (u) =f◦u. a) Montrer que f est diagonalisable si, et seulement si, F l’est. Exercice 1 [ 00799 ] [correction] b) Montrer que f et F ont les mêmes valeurs propres. Soit u un endomorphisme d’unK-espace vectoriel de dimension finie E. c) Soit λ une valeur propre de f. Etablir dimE (F ) = dimE× dimE (f).λ λ On suppose que Im(u−Id )∩Im(u +Id ) ={0 }E E E Exercice 7 [ 03015 ] [correction] Montrer que u est diagonalisable. Soient E un espace vectoriel de dimension finie, un projecteur fixé de E et F :L(E)→L(E) définie par 1Exercice 2 [ 00800 ] [correction] F :f7→ (f◦p +p◦f) 0 2Soit E =R [X]. Pour P∈E, on pose ϕ(P ) =P− (X + 1)P .n a) Justifier que ϕ définit un endomorphisme deR [X].n a)F est-elle linéaire? b) Déterminer les valeurs propres de ϕ et justifier que ϕ est diagonalisable. b)F diagonalisable? c) Quelle est la dimension des sous-espaces propres associés? Exercice 3 [ 00801 ] [correction] Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02718 ] [correction]Montrer que l’application Soit A∈R [X], B∈R [X] scindé à racines simples de degré n + 1. Soit Φ 2 00 0 l’endomorphisme deR [X] qui à P∈R [X] associe le reste de la divisionf :P (X)7→ (X − 1)P (X) + 2XP (X) n euclidienne de AP par B. Déterminer les éléments propres de Φ.