Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Eléments propres et diagonalisabilité d'une matrice

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Elémentspropresetdiagonalisabilitéd’unematrice Diagonaliser les matrices deM (R)n   1 ··· ··· ··· 1  Exercice 1 [ 00789 ] [correction]  . . 0 ··· 0 1 . . . 0 ··· 0 .Soient α∈R et    . . .. . .   . . . .. . . . . . .  et  . . . .cosα − sinα cosα sinα   0 ··· 0 1A = ∈M (K) et B = ∈M (K)  2 2 . .sinα cosα sinα − cosα . . 1 ··· 1 1 . 0 ··· 0 . 1 ··· ··· ··· 1 a) On supposeK =C. La matrice A est-elle diagonalisable? b) On supposeK =R. La A? c) Mêmes questions avec B. Exercice 5 Mines-Ponts MP [ 02704 ] [correction] Déterminer les valeurs propres de la matrice deM (R) suivanten   1 1 ··· 1Exercice 2 [ 00790 ] [correction]  1 1 (0)Soient a,b,c∈R. La matrice    . .. . ..  0 −b c 1 (0) 1  M = a 0 −c ∈M (R)3 −a b 0 Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02705 ] [correction] est-elle diagonalisable?     a b ··· b b ··· b a    . .. .. . . .   . .b a . . a b   Soit a, b deux réels, A = et B = .   . .. . . .. . . . . .   . . . .Exercice 3 [ 00792 ] [correction] . b b . ?Soient a,b∈R tels que|a| =|b| et b ··· b a a b ··· b Réduire ces deux matrices.  a b a ··· b  b a b ··· a   a b a ··· bA = ∈M (R) (avec n> 2) Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02706 ] [correction]  2n  . . . ... . . . . On pose .  . . . . 2 2a ab ab bb a b ··· a 2 2 ab a b ab M(a,b) = 2 2 ab b a aba) Calculer le rang de A.