Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Eléments propres d'une matrice

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Eléments propres d’une matrice Exercice 6 [ 00776 ] [correction] ?Soient n∈N et E =M (R). Pour A∈E, on introduit u :E→E défini parn Exercice 1 [ 00772 ] [correction] u(M) =AM Soit A∈M (K) vérifiant rg(A) = 1.n 2Montrer qu’il existe λ∈K tel que A =λA et que ce scalaire λ est valeur propre Montrer que A et u ont les mêmes valeurs propres et préciser les sous-espaces de A. propres de u en fonction de ceux de A. Exercice 2 [ 00773 ] [correction] Exercice 7 [ 00777 ] [correction]Pour A∈M (R), on posen Soient A∈M (C) et Φ l’endomorphisme deM (C) définie par Φ (M) =AM.n A n A nX a) Montrer que les valeurs propres de Φ sont les valeurs propres de A.A kAk = sup |a |i,j b) Déterminer les valeurs de Ψ :M7→MA.A16i6n j=1 Montrer que sp(A)⊂ [−kAk,kAk] Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02729 ] [correction] Soit la matrice A∈M (R) donnée par A = (min(i,j)) .n 16i,j6n a) Trouver une matrice triangulaire inférieure unité L et une matrice triangulaire Exercice 3 [ 00774 ] [correction] supérieure U telle que A =LU. Soit A = (a )∈M (R) vérifiant pour tout i,j∈{1,...,n} a > 0 et pour tout −1i,j n i,j b) Exprimer A à l’aide de nP i∈{1,...,n}, a = 1.  i,j 0 1 (0)j=1  a) Montrer que 1∈ Sp(A). . .. . . .  b) Justifier que si λ∈C est valeur propre de A alors|λ|6 1. N = .. c) Observer que si λ∈C est valeur de A et vérifie|λ| = 1 alors λ = 1. . 1 (0) 0 Exercice 4 [ 03280 ] [correction] −1c) Montrer que SpA ⊂ [0, 4].