Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Eléments propres d'un endomorphisme

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Eléments propres d’un endomorphisme et Mat g = diag(λ,λ + 1,...,λ +n− 1)e Exercice 1 [ 00762 ] [correction] ?Soient f un endomorphisme d’unK-espace vectoriel et n∈N . On suppose que n Exercice 7 [ 03467 ] [correction]0∈ sp(f ). Soit E leR-espace vectoriel des fonctions continues de [0, +∞[ versR convergeantMontrer que 0∈ sp(f). en +∞. Soit T l’endomorphisme de E donné par Exercice 2 [ 00763 ] [correction] ∀x∈ [0, +∞[,T (f)(x) =f(x + 1)Soit f un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer Déterminer les valeurs propres de T et les vecteurs propres associés. 0∈/ sp(f)⇔f surjectif Exercice 8 CCP MP [ 02577 ] [correction]Exercice 3 [ 00764 ] [correction] a) Montrer que Φ, qui à P associeSoit u un automorphisme d’unK-espace vectoriel E . Etablir 2 0 (X − 1)P (X)− (4X + 1)P (X)−1 −1 Spu = λ /λ∈ Spu est un endomorphisme deR [X].4 b) Résoudre l’équation différentielle Exercice 4 [ 00765 ] [correction] −1Soient E unK-espace vectoriel, u∈L(E), a∈ GL(E) et v =a◦u◦a . 5−λ 3 +λ0y = + yComparer Spu et Spv d’une part, E (u) et E (v) d’autre part.λ λ 2(x− 1) 2(x + 1) c) En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres de Φ. Exercice 5 [ 00766 ] [correction] Soit u un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E tel que tout vecteur non nul en soit vecteur propre. Exercice 9 CCP MP [ 03187 ] [correction] Montrer que u est une homothétie vectorielle.