Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Diagonalisabilité et endomorphisme induit

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Diagonalisabilité et endomorphisme induit Exercice 6 [ 00858 ] [correction] Soient f et g deux endomorphismes diagonalisables d’unK-espace vectoriel E de dimension finie.Exercice 1 [ 00854 ] [correction] Montrer que f et g commutent si, et seulement si, f et g sont simultanémentSoit f un endomorphisme diagonalisable d’unK-espace vectoriel E de dimension diagonalisables. finie. Montrer que la restriction de f à tout sous-espace vectoriel F ={0} stable est diagonalisable. Exercice 7 [ 03374 ] [correction] Soient A,B,C∈M (R) vérifiantn Exercice 2 [ 00855 ] [correction] AB−BA =C Soit u un endomorphisme diagonalisable d’unK-espace vectoriel E de dimension On suppose en outre que C commute avec les matrices A et B.finie. a) On suppose que A et diagonalisable. Montrer que la matrice C est nulle.Montrer qu’un sous-espace vectoriel F non nul est stable par u si, et seulement si, b) On suppose que la matrice C est diagonalisable. Montrer à nouveau de que lail possède une base de vecteurs propres de u. matrice C est nulle. Exercice 3 [ 03038 ] [correction] Soit u un endomorphisme d’unK-espace vectoriel pour lequel il existe une base B = (e ,...,e ) vérifiant u(e ) =e et u(e ) =e +e .1 n 1 1 2 1 2 L’endomorphisme u est-il diagonalisable? Exercice 4 [ 00856 ] [correction] 3Soit f l’endomorphisme deR dont la matrice est   5 1 −1  2 4 −2 1 −1 3 dans la base canonique. Déterminer les sous-espaces vectoriels stables par f.