Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Calcul de polynôme minimal

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Calcul de polynôme minimal Exercice 5 Mines-Ponts MP [ 02710 ] [correction] On pose   0 1 0 Exercice 1 [ 00841 ] [correction]  A = 1 0 1 Soit 0 1 01 1 A = 0 1 Que dire de cette matrice? Sans la diagonaliser, déterminer son polynôme kcaractéristique, son polynôme minimal, calculer A pour k∈N et évaluer exp(A). Déterminer μ .A Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02707 ] [correction] Soient a,b∈R, b = 0 et A∈M (R) la matrice dont les éléments diagonauxnExercice 2 [ 00842 ] [correction] valent a et les autres valent b. A est-elle diagonalisable? Quelles sont les valeursSoit   propres de A? Quel est le polynôme minimal de A? Sous quelles conditions sur a0 1   et b, A est-elle inversible? Lorsque c’est le cas trouver l’inverse de A...M = ∈M (R) avec n> 2  n. 1 0 Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02701 ] [correction] a) Montrer que M est diagonalisable. ?Soient a∈R et   2b) Déterminer le polynôme minimal de M. 0 a a pc) Calculer M pour p∈N.  A = 1/a 0 a 21/a 1/a 0 a) Calculer le polynôme minimal de A. Exercice 3 [ 00843 ] [correction] b) La matrice A est-elle diagonalisable? Si oui, la diagonaliser. ASoit a un réel. Pour M∈M (R), on posen c) Calculer e . L(M) =aM +tr(M)In Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02711 ] [correction] a) Montrer que L est un endomorphisme deM (R), trouver ses éléments propres Soitn   0 0 0et son polynôme minimal.  A = 0 0 1b) Pour quels a, L est-il un automorphisme?