Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Calcul de polynôme caractéristique

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Calcul de polynôme caractéristique b) Justifier que P est un polynôme unitaire de degré n. c) Former la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle Exercice 1 [ 00782 ] [correction] P(X) Calculer le polynôme caractéristique de la matrice nQ (X−a )  i 0 1 0 i=1  . . .. . . . .. d) En déduire le déterminant de A+I .n   0 ··· 0 1 a a ··· a0 1 n−1 Exercice 4 CCP MP [ 02493 ] [correction] ?Soient a ,...,a ∈C , tous distincts et P(x) = det(A+xI ) avec1 n n Exercice 2 [ 00784 ] [correction]   0 a ··· aSoient 2 n  .  . a 0 .0 1 0 1 A = .  .. . . .. .    .. . . a1 n A = ∈M (C) et P (x) = det(A −xI )n n n n n  a ··· a 0. . 1 n−1. . . . 1 0 1 0 a) Calculer P(a ) et décomposer en éléments simples la fractioni a) Montrer P(x) P (x) =−xP (x)−P (x) nn n−1 n−2 Q (x−a )i Calculer P (x) et P (x). i=11 2 b) Pour tout x∈ ]−2,2[, on pose x =−2cosα avec α∈ ]0,π[. Montrerque b) En déduire detA. sin((n+1)α) P (x) =n sinα c) En déduire que P (x) admet n racines puis que A est diagonalisable.n n Exercice 3 [ 00785 ] [correction] ?Soient a ,...,a ∈C deux à deux distincts.1 n On pose   0 a ... a2 n  ... . .a 0 .1 P(x) = det(A+xI ) avec A =n  . . .. . . . .. an a ··· a 01 n−1 a) Calculer P(a ).i Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.