Sujet : Algèbre, Polynôme en une indéterminée, Relations entre racines et coefficients

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Relations entre racines et coefficients Exercice 7 [ 02182 ] [correction] nP ? kPour n∈N on pose P = X .n k=0Exercice 1 [ 02176 ] [correction] a) Former la décomposition primaire de P dansC[X].4 nTrouver les racines dansC du polynôme X +12X−5 sachant qu’il possède deux nQ kπracines dont la somme est 2. b) En déduire la valeur de sin .n+1 k=1 Exercice 8 [ 02183 ] [correction]Exercice 2 [ 02177 ] [correction] ? n3 Soita∈R etn∈N . Résoudre dansC l’équation (1+z) = cos(2na)+isin(2na).Donner une condition nécessaire et suffisante sur λ∈C pour que X −7X +λ n−1 Qadmette une racine qui soit le double d’une autre. Résoudre alors l’équation. kπEn déduire la valeur de sin a+ . n k=0 Exercice 3 [ 02178 ] [correction] Exercice 9 [ 02184 ] [correction] 3 2Résoudre x −8x +23x−28 = 0 sachant que la somme de deux des racines est Soit P∈C[X] non nul et n = degP. 0 (n−1)égale à la troisième. Montrer que les sommes des zéros de P,P ,...,P sont en progression arithmétique. Exercice 4 [ 02179 ] [correction] √ √ √ Exercice 10 Centrale MP [ 02373 ] [correction]3 2On considère l’équation : x −(2+ 2)x +2( 2+1)x−2 2 = 0 de racines 3 2Soit P =X +aX +bX +c un polynôme complexe de racines α,β,γ. Calculer x ,x et x .1 2 3 2 2 2a) Former une équation dont x ,x et x seraient racines. α β γ1 2 3 + + b) En déduire les valeurs de x ,x ,x .