Sujet : Algèbre, Polynôme en une indéterminée, Racines et arithmétique

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Racines et arithmétique Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02672 ] [correction] 2Déterminer les P deR[X]\{0} tels que P(X )=P(X)P(X−1). Exercice 1 [ 02166 ] [correction] Soient p et q deux entiers supérieurs à 2 et premiers entre eux. Exercice 9 X MP [ 03041 ] [correction]Montrer p q pq Trouver les P∈C[X] tels que(X −1)(X −1)|(X−1)(X −1) 0 0 00 00P(1)=1, P(2)=2, P (1)=3, P (2)=4,P (1)=5 et P (2)=6 Exercice 2 [ 02167 ] [correction] Justifier les divisibilités suivantes : 2 na)∀n∈N, X |(X +1) −nX−1 Exercice 10 [ 03406 ] [correction] ? 3 n+2 n+1b)∀n∈N , (X−1) |nX −(n+2).X +(n+2)X−n [Equation de Fermat polynomiale] a) Soient P,Q,R∈C[X] premiers entre eux deux à deux, non constants, et tels que Exercice 3 [ 02168 ] [correction] P +Q+R =0 Montrer qu’il existe un unique polynôme P de degré inférieur à 3 tel que : Soient p,q,r le nombre de racines distinctes des polynômes P,Q,R 2 2 respectivement.(X−1) |P−1 et (X +1) |P +1 Prouver que le degré de P est strictement inférieur à p+q+r. Déterminer celui-ci. 0 0(indice : introduite P Q−QP) b) Trouver tous les triplets de polynômes complexes (P,Q,R) tels que n n nExercice 4 [ 02169 ] [correction] P +Q =R Justifier 3 2 3n 3p+1 3q+2∀(n,p,q)∈N , 1+X +X |X +X +X pour n>3 donné. c) Le résultat s’étend-il à n=2?