Sujet : Algèbre, Polynôme en une indéterminée, Racines d'un polynôme

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Racines d’un polynôme Exercice 5 [ 02159 ] [correction] Soit P∈C[X] un polynôme non nul tel que Exercice 1 [ 02157 ] [correction] 2P(X )+P(X)P(X +1) = 0 a) Soit n n−1 2P =a X +a X +...+a X +a a) Montrer que si a est racine de P alors a l’est aussin n−1 1 0 b) En déduire que a = 0 ou bien a est racine de l’unité. un polynôme à coefficients entiers tel que a = 0 et a = 0.n 0 On suppose que P admet une racine rationnelle r =p/q exprimée sous forme irréductible. Exercice 6 [ 02164 ] [correction] Montrer que p|a et q|a .0 n Montrer que si P∈R[X]\{0} vérifie b) Factoriser 23 2 P(X ) =P(X)P(X +1)P = 2X −X −13X +5 2c) Le polynôme ses racines sont parmi 0,1,−j,−j . En déduire tous les polynômes solutions. 3 P =X +3X−1 est-il irréductible dansQ[X]? Exercice 7 X PC - Centrale MP [ 02375 ] [correction] Trouver les P∈C[X] vérifiant 2Exercice 2 [ 02158 ] [correction] P(X ) =P(X)P(X +1) Soient a,b,c trois éléments, non nuls et distincts, du corps K. Démontrer que le polynôme Exercice 8 [ 01329 ] [correction] X(X−b)(X−c) X(X−c)(X−a) X(X−a)(X−b) Trouver les P∈C[X] vérifiant P = + + a(a−b)(a−c) b(b−c)(b−a) c(c−a)(c−b) 2P(X ) =P(X)P(X−1) peut s’écrire sous la forme P =λ(X−a)(X−b)(X−c)+1 où λ est une constante que l’on déterminera. Exercice 9 [ 02165 ] [correction] Soit n n−1P(X) =X +a X +···+a X +a ∈C[X]n−1 1 0Exercice 3 [ 02161 ] [correction] Soient a ,a ,...,a des éléments deux à deux distincts de K.