Sujet : Algèbre, Polynôme en une indéterminée, Polynômes réels scindés

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Polynômes réels scindés Exercice 7 [ 03340 ] [correction] Soit P∈R [X] scindé à racines simples. Montrer qu’aucun coefficient nul de P ne peut être encadré par deux coefficientsExercice 1 [ 02160 ] [correction] ? non nuls et de même signe.Soit P un polynôme de degré n + 1∈N à coefficients réels possédant n + 1 racines réelles distinctes. 0a) Montrer que son polynôme dérivé P possède exactement n racines réelles Exercice 8 [ 03683 ] [correction]distinctes. 2 Soit P∈C [X] un polynôme non constant dont les racines complexes sont deb) En déduire que les racines du polynôme P + 1 sont toutes simples dansC. ¯parties imaginaires positives ou nulles. Montrer que le polynôme P +P est scindé dansR [X]. Exercice 2 [ 03339 ] [correction] ?Soit P∈R [X] scindé à racines simples dansR. Montrer que pour tout α∈R les Exercice 9 X MP [ 03696 ] [correction]2 2racines de P +α dansC sont toutes simples. 0Soit P∈R [X] scindé surR. Montrer que pour tout réel α, le polynôme P +αP est lui aussi scindé surR. Exercice 3 CCP MP [ 03581 ] [correction] 0Soit P∈R [X] scindé de degré> 2; on veut montrer que le polynôme P est lui aussi scindé. a) Enoncer le théorème de Rolle. b) Si x est racine de P de multiplicité m> 1, quelle en est la multiplicité dans0 0P ? c) Prouver le résultat énoncé. Exercice 4 [ 02163 ] [correction] Soit P∈R [X] un polynôme scindé de degré supérieur à 2. 0Montrer que P est scindé.