Sujet : Algèbre, Polynôme en une indéterminée, L'espace vectoriel des polynômes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 L’espace vectoriel des polynômes Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02665 ] [correction] Montrer, pour tout n∈N, qu’il existe un unique P ∈R [X] tel que P (0) = 0n n+1 n net P (X +1)−P (X) =X .n nExercice 1 [ 02146 ] [correction] 2 2 2Soient P =X +1, P =X +X−1 et P =X +X.1 2 3 Montrer que la famille (P ,P ,P ) est une base deK [X].1 2 3 2 Exercice 2 [ 02147 ] [correction] k+1 k+1Pour k∈{0,...,n}, on pose P = (X +1) −X .k Montrer que la famille (P ,...,P ) est une base deK [X].0 n n Exercice 3 [ 02148 ] [correction] k n−kPour k∈{0,...,n}, on pose P =X (1−X) .k Montrer que la famille (P ,...,P ) est une base deK [X].0 n n Exercice 4 [ 02149 ] [correction] Pour k∈N, on pose X(X−1)...(X−k+1) P =k k! a) Montrer que la famille (P ,P ,...,P ) est une base deR [X].0 1 n n b) Montrer que ∀x∈Z,∀k∈N, P (x)∈Zk c) Trouver tous les polynômes P tels que ∀x∈Z,P(x)∈Z Exercice 5 [ 02150 ] [correction] Soit E l’espace vectoriel des applications deR dansR. On considère F la partie de E constituée des applications de la forme : x7→P(x)sinx+Q(x)cosx avec P,Q∈R [X]n a) Montrer que F un sous-espace vectoriel de E. b) Montrer que F est de dimension finie et déterminer dimF. Exercice 6 [ 02151 ] [correction] Soient n∈N et A∈K [X] un polynôme non nul.n Montrer que F ={P∈K [X]/A|P} est un sous-espace vectoriel deK [X] etn n en déterminer la dimension et un supplémentaire.