Sujet : Algèbre, Polynôme en une indéterminée, Factorisation de polynômes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Factorisation de polynômes Exercice 1 [ 02171 ] [correction] Factoriser dansC[X] puis dansR[X] les polynômes suivants : 4 5 2 2a) X −1 b) X −1 c) (X −X +1) +1. Exercice 2 [ 02172 ] [correction] Factoriser dansR[X] les polynômes suivants : 4 2 4 2 8 4a) X +X +1 b) X +X −6 c) X +X +1. Exercice 3 [ 02173 ] [correction] n n ?Factoriser le polynôme (X +i) −(X−i) pour n∈N . Exercice 4 [ 02174 ] [correction] 2n+1Former la décomposition primaire dans R[X] de P =X −1 (avec n∈N). Exercice 5 CCP MP [ 02175 ] [correction] ?Soient a∈ ]0,π[ et n∈N . Factoriser dansC[X] puis dansR[X] le polynôme 2n n X −2cos(na)X +1 Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02664 ] [correction] ?a) Soit n∈N . Montrer que n−1Y kπ2n 2 2X −1 = (X −1) (X −2Xcos +1) n k=1 b) Soit un réel a =±1; déduire de a) la valeur de Z π 2ln(a −2acost+1)dt 0 Exercice 7 Centrale MP [ 00399 ] [correction] Soit P∈R[X]. Montrer qu’il y a équivalence entre (i)∀x∈R,P(x)> 0; 2 2 2(ii)∃(A,B)∈R[X] ,P =A +B . Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD 6 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Corrections 2 Corrections Exercice 5 : [énoncé] 2 ina −inaLes racines de X −2cos(na)X +1 sont e et e donc Exercice 1 : [énoncé] 2n n n ina n −inaX −2cos(na)X +1 = (X −e )(X −e ) 4a) X −1 = (X−1)(X +1)(X−i)(X +i) dansC[X] et 4 2 n ina ia+2ikπ/nX −1 = (X−1)(X +1)(X +1) dansR[X]. Les racines de X −e sont les e avec k∈{0,...