Sujet : Algèbre, Polynôme en une indéterminée, Arithmétique des polynômes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Arithmétique des polynômes Exercice 7 [ 02138 ] [correction] Soit A,B∈K[X] non nuls. Montrer : A et B sont premiers entre eux si, et seulement si, A+B et AB le sont.Exercice 1 [ 02133 ] [correction] Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant : 3 2 3 2a) X−1 | X −2X +3X−2 b) X−2 | X −3X +3X−2 c) 3 2 Exercice 8 [ 02139 ] [correction]X +1 | X +3X −2. Soient A,B,C∈K[X] tels que A et B soient premiers entre eux. Montrer pgcd(A,BC) = pgcd(A,C)Exercice 2 [ 02134 ] [correction] Soit P∈K[X]. a) Montrer que P(X)−X divise P(P(X))−P(X). Exercice 9 CCP MP [ 02580 ] [correction]b) En déduire que P(X)−X divise P(P(X))−X. [n] On cherche les polynômesc) On note P =P◦...◦P (composition à n> 1 facteurs). [n]Etablir que P(X)−X divise P (X)−X P(X) = (X−a)(X−b)∈C[X] 3tels que P(X) divise P(X ). Exercice 3 [ 03407 ] [correction] 3 3Montrer que, si a =b, P∈R[X] et que si a =b et a =b , il existe 6 polynômes Soit P∈K[X]. Montrer que P(X)−X divise P(P(X))−X. dont 4 dansR[X]. 3 3Trouver les polynômes P si a =b et a =b et en déduire que 13 polynômes en tout conviennent, dont 7 dansR[X]. Exercice 4 [ 02135 ] [correction] 2 2Soit A,B∈K[X] tels que A |B . Montrer que A|B. Exercice 5 [ 02136 ] [correction] Soit A,B∈K[X] non constants et premiers entre eux. 2 Montrer qu’il existe un unique couple (U,V)∈K[X] tel que ( degU 1. ˆ ˆPar suite V =V et de même U =U.