Sujet : Algèbre, Nombres entiers, Sommes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Sommes Exercice 7 [ 02068 ] [correction] Calculer nX k Exercice 1 [ 02062 ] [correction] (k+1)!Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies : k=1 n n n n nX X X X X a) α+a =α+ a b) a +b = a + bi i i i i i Exercice 8 [ 02069 ] [correction]i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 n n n n nX X X X X a) Calculer c) αa =α a d) a b = a b pi i i i i i X i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 kk! !αn n n n n nX X XX XX k=1αe) a = a f) a = a ?i i,j i,ji b) Soit p∈N. Montrer que pour tout n∈[0,(p+1)!−1]], il existe un (p+1)i=1 i=1 j=1 i=1 i=1 j=1 p+1uplet (n ,n ,...,n )∈N tel que0 1 p pXExercice 2 [ 02063 ] [correction] ∀k∈[0,p],06n 6k et n= n k!k kEtablir l’une des trois formules suivantes : n n n 2 2P P Pn(n+1) n(n+1)(2n+1) n (n+1) k=02 3a) k = b) k = c) k = 2 6 4 k=1 k=1 k=1 c) Justifier l’unicité d’une telle suite. Exercice 3 [ 02064 ] [correction] n nP P Exercice 9 [ 03640 ] [correction]2A partir des valeurs connues de k et k , calculer : Soient (x ,...,x ) et (y ,...,y ) deux suites réelles monotones. Comparer1 n 1 nk=1 k=1 nP ! !a) k(k+1) b) 1.n+2.(n−1)+···+(n−1).2+n.1. n n nX X X1 1 1k=1 x y et x yk k k k n n n k=1 k=1 k=1 Exercice 4 [ 02065 ] [correction] Calculer nX k(−1) k k=1 Exercice 5 [ 02066 ] [correction] nP 1Montrer que la suite de terme général u = est strictement croissante.n n+k k=1 Exercice 6 [ 02067 ] [correction] Montrer nX ∀n∈N, k!6(n+1)! k=0 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.