Sujet : Algèbre, Nombres entiers, Principe de récurrence

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Principe de récurrence Exercice 6 [ 02060 ] [correction] Le raisonnement suivant est erroné : ?Montrons, par récurrence sur n∈N , la propriété :Exercice 1 [ 02056 ] [correction] P(n) = n points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés.Soit (u ) une suite réelle telle quen Pour n = 1 et n = 2, la propriété est vraie. Supposons la propriété établie au rang n> 2.1 u = 1 et∀n∈N,u = 1 + u0 n+1 n Considérons alors n + 1 points deux à deux distincts A ,A ,...,A ,A .1 2 n n+1n + 1 (HR) Les points A ,A ,...,A sont alignés sur une droiteD.1 2 n 0(HR) Les points A ,...,A ,A sont alignés sur une droiteD .2 n n+1Donner l’expression du terme général u de cette suite.n 0 0OrD etD contiennent les deux points distincts A et A , doncD =D .2 n 0Par suite A ,A ,...,A ,A sont alignés sur la droiteD =D .1 2 n n+1 Récurrence établie. Exercice 2 [ 02057 ] [correction] Où est l’erreur? Soit (u ) la suite réelle déterminée parn u = 2,u = 3 et∀n∈N,u = 3u − 2u0 1 n+2 n+1 n Exercice 7 [ 02061 ] [correction] On se propose d’établir Montrer n ? 2 p∀n∈N,u = 2 + 1n ∀n∈N ,∃(p,q)∈N , n = 2 (2q + 1) en procédant de deux manières : ? ma) 1ère méthode : Pour n∈N fixé, on pose A ={m∈N/2 |n}. Exercice 3 [ 01274 ] [correction] Montrer que A admet un plus grand élément p et que pour celui-ci on peut écrire a) Soit x∈R tel que x + 1/x∈Z. pn = 2 (2q + 1) avec q∈N. Montrer que pour tout n∈N, ?