Sujet : Algèbre, Nombres entiers, Coefficients binomiaux

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Coefficients binomiaux Exercice 5 [ 02085 ] [correction] Soient n,p,q∈N tels que n6p+q. p qEn développant de deux manières (1+x) ×(1+x) , établirExercice 1 [ 02081 ] [correction] ! ! !Montrer que pour tout n∈N et tout p∈Z nX p q p+q ! ! = k n−k nn n−1 k=0p =n p p−1 En déduire Exercice 6 [ 02086 ] [correction] ! nX n Calculer, pour tout n,p∈N, la sommen−1p =n2 !p np=0 X p+k k k=0 Exercice 2 [ 02082 ] [correction] ?Calculer pour tout n∈N : Exercice 7 [ 02087 ] [correction] ! ! ! ?n n n Calculer pour n,p∈N , la sommeX X Xn n n2a) S = b) S = k c) S = k0 1 2   k k k n pk=0 k=0 k=0 X Y  (i+j) i=0 j=1 Exercice 3 [ 02083 ] [correction] ?Pour n∈N , calculer Exercice 8 [ 02088 ] [correction] ! ! E(n/2) E((n−1)/2) nX X Développer (a+b+c) .n n A = et B = 2k 2k+1 k=0 k=0 Exercice 9 [ 02089 ] [correction]en formant un système dont A et B seraient solutions. a) Soit n∈N. Calculer ! nX nk(−1) kExercice 4 [ 02084 ] [correction] k=0 Soit n∈N. Calculer ! n b) Soient k,‘,n∈N tels que ‘6k6n. ComparerX n pj ! ! ! ! p n k n n−‘p=0 et k ‘ ‘ k−‘En déduire ! ! ! E(n/3) E((n−1)/3) E((n−2)/3) c) Soit (x ) une suite de réels. On poseX X X nn n n A = ,B = et C = !3k 3k+1 3k+2 kXk=0 k=0 k=0 k ∀k∈N,y = xk ‘ ‘ ‘=0 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 2 Montrer que et pour tout entier k vérifiant n/26k6n−1 ! nX n ! !